因为博主做这种题目的时候非常容易搞错搞混，而且题目本身计算量超级大，容易记错。这里用文字总结出大致的方法，以便将方法内化，把精力专注于计算。
函数 \(u(x, y)\) 满足偏微分方程：
$\(
2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - 2\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 3\frac{\partial u}{\partial y} = 0.
\)\(
引入变量替换：
\)\(
u(x, y) = v(x, y) e^{ax + by},
\)\(
其中 \)a, b\( 为待定常数。
用户现在需要解决的问题是找到 \)a\( 和 \)b\( 的值，使得通过变换 \)u = v e^{ax + by}\( 后，原偏微分方程不含一阶偏导数。首先得回忆一下偏导数的链式法则，计算 \)u\( 的一阶和二阶偏导数，代入原方程，然后整理，让一阶偏导数的系数为零，解出 \)a\( 和 \)b$。
首先，步骤应该是：
首先，\(u = v e^{ax + by}\)，所以： $\( \frac{\partial u}{\partial x} = \left(\frac{\partial v}{\partial x}\right) e^{ax + by} + v \cdot a e^{ax + by} = e^{ax + by}(v_x + a v) \)\( （这里 \)v_x\( 表示 \)\frac{\partial v}{\partial x}\(，\)v_y\( 表示 \)\frac{\partial v}{\partial y}$）
\[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} [e^{ax + by}(v_x + a v)] = a e^{ax + by}(v_x + a v) + e^{ax + by}(v_{xx} + a v_x) = e^{ax + by}(v_{xx} + 2a v_x + a^2 v) \]
同样， $\( \frac{\partial u}{\partial y} = e^{ax + by}(v_y + b v) \)\( \)\( \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} [e^{ax + by}(v_y + b v)] = b e^{ax + by}(v_y + b v) + e^{ax + by}(v_{yy} + b v_y) = e^{ax + by}(v_{yy} + 2b v_y + b^2 v) \)$
现在将这些代入原方程：
\[ 2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - 2\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 3\frac{\partial u}{\partial y} = 0 \]
代入后，每一项都有 \(e^{ax + by}\)，可以约掉（因为 \(e\) 的指数函数不为零），所以得到：
\[ 2(v_{xx} + 2a v_x + a^2 v) - 2(v_{yy} + 2b v_y + b^2 v) + 3(v_y + b v) = 0 \]
展开：
\[ 2v_{xx} + 4a v_x + 2a^2 v - 2v_{yy} - 4b v_y - 2b^2 v + 3v_y + 3b v = 0 \]
现在整理各项：
题目要求化为不含一阶偏导数的等式，所以一阶偏导数的系数必须为零。即：
对于 \(v_x\) 的系数：\(4a = 0 \Rightarrow a = 0\)
对于 \(v_y\) 的系数：\(-4b + 3 = 0 \Rightarrow 4b = 3 \Rightarrow b = 3/4\)
现在验证一下是否正确，代入 \(a=0, b=3/4\) 后，一阶偏导数的系数确实为零，剩下的就是二阶和零阶项，符合要求。 回代检查 $\( \frac{\partial u}{\partial x} = v_x e^{ax+by} + a v e^{ax+by} \)$ 正确。
\[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (v_x e^{...}) + a \frac{\partial}{\partial x} (v e^{...}) = (v_{xx} e^{...} + a v_x e^{...}) + a (v_x e^{...} + a v e^{...}) = v_{xx} e^{...} + 2a v_x e^{...} + a^2 v e^{...} \]
正确。
\[ \frac{\partial u}{\partial y} = v_y e^{...} + b v e^{...} \]
正确。
\[ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = v_{yy} e^{...} + 2b v_y e^{...} + b^2 v e^{...} \]
正确。
代入原方程：
\[ 2(v_{xx} + 2a v_x + a^2 v) - 2(v_{yy} + 2b v_y + b^2 v) + 3(v_y + b v) = 0 \]
设函数 \(u = f(x, y)\) 具有二阶连续偏导数，且满足方程
$\(
4\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 12\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + 5\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0.
\)\(
确定常数 \)a, b\( 的值，使得在变量替换 \)\xi = x + ay\(, \)\eta = x + by\( 下，该方程化简为
\)\(
\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} = 0.
\)$
| 项目 | 前一题 | 本题 |
|---|---|---|
| 变换类型 | 指数变换 \(u = v e^{ax + by}\) | 线性变换 \(\xi = x + ay, \eta = x + by\) |
| 目标形式 | 消去一阶偏导数 | 化简为仅含混合二阶导数 \(\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta}\) |
| 关键操作 | 代入后分离一阶项并令其系数为零 | 代入后分离 \(u_{\xi\xi}, u_{\eta\eta}\) 项并令其系数为零 |
设 \(\xi = x + ay\), \(\eta = x + by\)，则：
- 一阶偏导数：
$\(
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial \xi} + \frac{\partial u}{\partial \eta}, \quad
\frac{\partial u}{\partial y} = a\frac{\partial u}{\partial \xi} + b\frac{\partial u}{\partial \eta}
\)\(
- **二阶偏导数**：
\)\(
\begin{aligned}
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} &= \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} + 2\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} + \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2}, \\
\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} &= a\frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} + (a + b)\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} + b\frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2}, \\
\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} &= a^2\frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} + 2ab\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} + b^2\frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2}.
\end{aligned}
\)$
将上述结果代入原方程：
$\(
4\left( u_{\xi\xi} + 2u_{\xi\eta} + u_{\eta\eta} \right) + 12\left( a u_{\xi\xi} + (a + b)u_{\xi\eta} + b u_{\eta\eta} \right) + 5\left( a^2 u_{\xi\xi} + 2ab u_{\xi\eta} + b^2 u_{\eta\eta} \right) = 0.
\)$
按 \(u_{\xi\xi}, u_{\xi\eta}, u_{\eta\eta}\) 分类：
- \(u_{\xi\xi}\) 的系数：\(4 + 12a + 5a^2\),
- \(u_{\xi\eta}\) 的系数：\(8 + 12(a + b) + 10ab\),
- \(u_{\eta\eta}\) 的系数：\(4 + 12b + 5b^2\).
为使方程化简为 \(\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} = 0\)，需满足：
$\(
\begin{cases}
4 + 12a + 5a^2 = 0 \quad \text{(消去 } u_{\xi\xi} \text{)}, \\
4 + 12b + 5b^2 = 0 \quad \text{(消去 } u_{\eta\eta} \text{)}.
\end{cases}
\)\(
解二次方程 \)5t^2 + 12t + 4 = 0\(：
\)\(
t = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 80}}{10} = \frac{-12 \pm 8}{10} \implies t = -2 \text{ 或 } -\frac{2}{5}.
\)\(
因此，\)a, b\( 为方程的两个根，即 \)a = -2, b = -\frac{2}{5}\( 或 \)a = -\frac{2}{5}, b = -2$。
混合导数项的系数为：
$\(
8 + 12(a + b) + 10ab.
\)\(
由韦达定理，\)a + b = -\frac{12}{5}, ab = \frac{4}{5}\(，代入得：
\)\(
8 + 12\left(-\frac{12}{5}\right) + 10\left(\frac{4}{5}\right) = 8 - \frac{144}{5} + 8 = -\frac{64}{5} \neq 0.
\)$
说明混合导数项存在且非零，符合要求。
\[ \boxed{a = -2,\ b = -\dfrac{2}{5} \quad \text{或} \quad a = -\dfrac{2}{5},\ b = -2} \]